Approssimazione polinomiale di funzioni

teorema di Taylor fornisce un modo per approssimare qualsiasi funzione con un polinomio . L' unico requisito è che si prendano le derivate della funzione e dei derivati ​​di tutte le derivate della funzione . Ciò consente di valutare la funzione e le derivate della funzione in un punto . Funzione Notazione e teorema fattoriali

di Taylor utilizza la notazione funzione , in modo da descrivere funzioni f ( x ) = x ^ 2 - 3x + 2 invece di Y = X ^ 2 - . 3X + 2 Questa notazione rende più facile per descrivere molteplici derivati. Fattoriali sono contrassegnati con il simbolo esclamativo. Un esempio è 5 ! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 . Altro esempio è 7 ! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040 .

Derivati ​​

La derivata di una funzione è un'altra funzione che descrive come cambia funzione . Il valore di un derivato in un punto dà la pendenza della retta tangente alla curva in quel punto . La derivata di un polinomio viene trovata eliminando il termine costante e facendo questa trasformazione per ciascun periodo residuo , ad esempio , aX ^ n va a ANX ^ ( n - 1 ) . Ad esempio , il derivato di X ^ 2 - 3X + 2 è 2X - . 3 I derivati ​​di polinomi diminuiscono sempre il grado di uno così dopo pochi derivati ​​esso diventa zero. Altre funzioni possono avere un numero infinito di strumenti derivati ​​. La derivata prima di f ( x ) viene indicato f ' ( x ) e la derivata di questo è denotato f '' ( x ) . Formula
di Taylor
< teorema p > di Taylor per l' approssimazione polinomiale di una funzione f ( x ) = f ( X0 ) + ( f ' - ( ! ( X0 ) /2 ( X0 ) /1 ! ) f '' ) ( X X0 ) + ' ( X - X0 ) ^ 2 + ( f '' ' ( X0 ) /3 ! ) ( X - X0 ) ^ 3 + e così via . È possibile continuare la serie per quanto molti termini , come è necessario per ottenere una buona approssimazione . Se approssimare un polinomio , continuerà solo per alcuni termini prima di andare a zero . Con altre funzioni può teoricamente andare avanti per sempre . Solitamente sono necessari solo alcuni termini per ottenere una buona approssimazione .

Esempi

Per il ravvicinamento polinomio di Y = Sin X , notare che f ( X) = Sin X. f ' ( x ) = cos x , f '' ( X ) = -Sin X , e così via . Sin ( X) = f (x ) = f ( X0 ) + ( f ' ( X0 ) /1 ! ) (X - X0 ) + ( f '' ( X0 ) /2 ! ) (X - X0 ) ^ 2 + ( f '' ' ( X0 ) /3 ! ) (X - X0 ) ^ 3 = Sin ( 0 ) + ( Cos ( 0 ) /1 ! ) (X - 0 ) + ( ! - Sin ( 0 ) /2) (X - 0 ) ^ 2 + ( - Cos ( 0 ) /3 ! ) ( X - 0 ) + e così via = 0 + (1/1) X + 0 - X ^ 3/3 ! + 0 + X ^ 5/5 ! + 0 e così via = X - X ^ 3/3 ! + X ^ 5/5 ! - X ^ 7/7 ! + E così via . Questo significa che Sin X = X - X ^ 3/3 ! + X ^ 5/5 ! - X ^ 7/7 ! + E così via .