Come sbarazzarsi di arctan

espressioni trigonometriche possono essere brutto . Quindi è un peccato che nascono più e più volte nelle soluzioni a problemi che nulla hanno a che fare con la geometria . La tangente inversa , o arctan , è un buon esempio . Il arctan mostra in tutti i tipi di problemi che si occupano di popolazione , stress meccanici , propulsione a razzo --- il arctan sembra essere ovunque . Tuttavia , uno sviluppo in serie per l'arcotangente che è stato scoperto qualche centinaio di anni fa, può tornare utile oggi . Istruzioni
1 La derivata della arcotangente è una bella , pulita espressione algebrica , in modo da approfittare di che, quando si può .

Sostituire tutte le espressioni che contengono la derivata della arcotangente . Se il arctan appare come un derivato , come in d /dx ( arctan ( ax ) ) , si può facilmente sostituire , perché la derivata della arctan è 1 /( 1 + x ^ 2) .
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Sostituire il arctan dalla sua espansione serie infinita , scoperto da James Gregory nel 17 ° secolo

arctan ( x ) = x - . x ^ 3/3 + x ^ 5/5 - x ^ 7/7 + x ^ 9/9 - ....
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Determinare la precisione richiesta del problema , e tagliare la serie infinita nel punto in cui viene superato tale precisione. Cioè , continuano ad aggiungere termini alla serie fino a quando un termine è più piccolo la precisione desiderata . Ad esempio, se la precisione 1 per cento è accettabile per un problema in cui x = 0,74 , si dovrebbe continuare ad aggiungere termini per l'espansione fino a quando un termine è minore di 1 per cento dei 0,74 . Il quinto termine , x ^ 9/9 pari a 0,00739 . Dividendo tale da 0,74 i risultati in una risposta minore di .001 . Ogni termine supplementare sarà più piccolo e si può ignorarli e raggiungere la precisione desiderata di 1 per cento .