Come calcolare un integrale improprio

Integrali impropri sono infinito positivo o negativo in uno o entrambi i limiti delle integrali . È difficile immaginare calcolo dell'area di un grafico estende all'infinito positivo o negativo , ma è possibile con l' uso dei limiti infiniti . Temporaneamente sostituire una variabile t in dell'integrale improprio , quindi calcolare l'integrale prendendo il limite per t che tende all'infinito nella primitiva della funzione . Per alcuni tipi di funzioni , questo si tradurrà in una soluzione di numero reale. Istruzioni
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Sostituire l'integrando improprio ( ∞ o - ∞ ) con una variabile segnaposto nel integrale improprio . Ad esempio , nell'integrale da 1 a ∞ di 1 /x ^ 2 dx , sostituire l' ∞ integrando con per ottenere l'integrale da 1 a t 1 /x ^ 2 dx .
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Risolvere l' integrale definito da 1 a t calcolando la primitiva della funzione e la valutazione è a valori f ( t ) e f ( 1 ) . Nell'esempio precedente , la primitiva di 1 /( x ^ 2) -1 /x . L'integrale è quindi pari a -1 /t - . (-1 /1)
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Semplificare l'espressione nella Fase 2 distribuendo fattori , che unisce come termini , e riducendo le frazioni . L'espressione -1 /t - (-1 /1) semplifica a -1 /t + 1 , o 1 - . 1 /t
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Prendete il limite dell'espressione semplificata dal punto 3 come la variabile t va all'infinito positivo o negativo ( qualunque sia il segno di infinito dell'integrando è stata sostituita con t nella Fase 1 aveva) e semplificare la risposta. Nell'esempio precedente , il limite per t che tende all'infinito di 1 - 1 /t ) è 1 - . 0 o 1 Il improprio integrale da 1 a ∞ della funzione 1 /x ^ 2 è quindi pari a 1 .