Ottimizzazione Problemi & Soluzioni nel calcolo

Il nome calcolo deriva dalla parola latina per una piccola pietra utilizzata per il conteggio . Calculus ha molte applicazioni in matematica e scienze e una di queste applicazioni è nella soluzione di problemi di ottimizzazione . Compiamo questo usando il calcolo differenziale per trovare il massimo di una funzione , che in genere è il punto di ottimizzazione. Il derivato

calcolo, la derivata di una semplice funzione in un dato punto può essere pensato come la pendenza di una retta tangente alla funzione in quel punto . Troviamo la derivata di una funzione dal processo di differenziazione . Per una semplice funzione come f ( x ) = x ^ a , la derivata prima è data da f ' ( x ) = a ( x ^ (a- 1 ) ) . Questo derivata prima può essere differenziato nuovamente utilizzando esattamente lo stesso processo che invia un derivata seconda della funzione . Entrambe le derivate prime e seconde sono necessari per risolvere i problemi di ottimizzazione .
Massimi e minimi

Per una funzione che produce una trama curvo con massimi finito e minimi , massimi o minimi di quel complotto apparirà come picchi e valli . In cima esatta di un picco o inferiore di una valle , la linea tangente sarà perfettamente orizzontale e quindi avrà una pendenza pari a zero . Così i massimi o minimi di una funzione si verificherà in quei punti in cui il suo derivato è uguale a zero . Per trovare i massimi e minimi di una funzione , tutto ciò che serve è quello di prendere la sua derivata prima , impostare la derivata a zero, quindi risolvere l'equazione risultante .
Trovare Massimi e minimi

la derivata prima di trovare solo i punti che sono massimi o minimi , ma non fa differenza tra i due. Tuttavia , in funzione passa attraverso un massimo , il tasso di variazione della pendenza della linea tangente è negativa , per cui la derivata seconda della funzione al massimo sarà negativo . Allo stesso modo , la derivata seconda sarà positivo al minimo .
Optimization Problemi

maggior parte dei problemi di ottimizzazione descrivono una situazione fisica per la quale è richiesta l'ottimizzazione . Condizioni ottimali sono trovati dal primo traducendo la situazione in una funzione , quindi trovare il valore in cui tale funzione ha un massimo . Per trovare il massimo , la derivata prima della funzione viene acquistata , impostato a zero e risolto . Per garantire il valore risultante dà un risultato massimo ( al contrario di un minimo) , la derivata seconda della funzione è preso e esaminato per assicurarsi che sia negativo .
Un'ottimizzazione esempio

un contadino ha un frutteto di 50 alberi di mele , ognuna delle quali producono 800 mele all'anno. Se si pianta più alberi , otterrà mele supplementari da quegli alberi, ma ogni albero nel frutteto superiore a 50 abbassa le mele per albero da 10. Quanti alberi supplementare dovrebbero essere piantati per ottenere il più possibile le mele ? Se x è il numero di alberi supplementari , le mele totali annui è f ( x ) = ( 50 + x ) ( 800 - 10x) = 40.000 + 300x - 10x ^ 2 . La derivata prima di questa funzione è f ' ( x ) = 300 - 20x , in modo che il valore ottimale di x si verifica quando 300 - . . 20x = 0 Risolvendo per x dà 15 Come un doppio controllo , la derivata seconda è f ' ' ( x ) = -20 , che è negativo ; quindi, questo è un valore massimo . Così il coltivatore deve piantare 15 più alberi per ottenere la raccolta ottimale mela .