Come calcolare i coefficienti in un Pade approximant

In matematica , non è sempre possibile ottenere un , analizzabile , forma pratica pulita di una funzione complicata . Tuttavia , una tecnica nota come approssimazione di Taylor permette matematici di riscrivere tali funzioni come somme infinite di termini . Approssimazioni Taylor hanno un gran numero di usi , ma ci sono ancora situazioni in cui approssimazioni Taylor non riescono ad essere precisi quando troncato . In queste situazioni , una diversa forma di approssimazione , nota come approssimante Pade , entra in gioco . Questa forma di approssimazione è facile scrivere come una serie di Taylor , ma di scrivere completamente un Pade approssimativa , è necessario calcolare i suoi coefficienti . Istruzioni
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Scrivi la approximant Pade per la serie di Taylor troncato per cui è di rappresentare . Il approssimante dovrebbe essere sotto forma sigma ( Ak * x ^ k , per 0 , ... , N ) /sigma ( Bk * x ^ k , per 0 , ... , M ) . Qui , " Sigma " si riferisce alla notazione di sigma , che riassume i termini all'interno. Ak e Bk sono i coefficienti della approssimante Pade . "M " e " N" può essere qualsiasi numero finché la conforme alla seguente troncato serie di Taylor : . Sigma ( Ck * x ^ k, per 0 , ... , M + N )
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Valutare l' approssimante Pade . Scrivere le funzioni sigma in forma lunga ( come l'aggiunta di termini) . Ad esempio , sigma ( Ak * x ^ k, per 0 , ... , 2 ) diventerà A0 + A1 * x + A2 * x ^ 2 . La soluzione sarà una serie di somme diviso da una serie di somme ( una frazione , in sostanza ) .
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Valutare la serie di Taylor . Scrivere la funzione sigma come un problema di addizione . Ad esempio , se la serie di Taylor troncato per cui l' approssimante Pade corrisponde è sigma ( Ck * x ^ k , per 0 , ... , 5 ) , scrivere C0 + C1 + C2 * x * x ^ 2 , ... , C5 * x ^ 5 .
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equiparare la approximant Pade alla serie di Taylor . Ora avrete un'equazione equiparare una frazione di somme a una serie di somme .
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Risolvere per i coefficienti Ak . Utilizzare algebra di base . Ad esempio , si dovrebbe trovare che A0 = C0 e A1 = C1 + C0 * B1 .
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Risolvere per i coefficienti Bk numerico. Utilizzando algebra , spostare il lato destro dell'equazione che eguaglia il approssimante Pade alla serie di Taylor al lato sinistro dell'equazione . Verrà lasciato con una serie di equazioni che tutti equivalere a zero. Questa sarà una serie di equazioni lineari che si possono risolvere con metodi matriciali ( per grandi valori di M e N , risolvendo questo a mano è intrattabile , quindi è necessario utilizzare un software matrice per trovare i valori numerici di Bk ) .

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sostituire i valori numerici delle Bk nelle soluzioni coefficiente Ak . I vostri coefficienti Ak ora dovrebbero essere i numeri e non le equazioni . A questo punto avete tutti i coefficienti calcolati .