Proprietà di un coefficiente binomiale

Un coefficiente binomiale , di solito realizzate come due numeri impilati uno sopra l'altro e racchiusi tra parentesi , può anche essere scritte come " NCK ". E ' il numero di modi di scegliere gli articoli "k" da un pool di oggetti "n" . Ad esempio , il numero di modi di raccogliere cinque carte da un mazzo di 52 è 52C5 . Questo viene letto come " 52 scegliere 5 . " Il coefficiente binomiale è pari a n ! /( N - k ) ! K ! dove " ! " rappresenta la funzione fattoriale . Il fattoriale di un intero positivo è il prodotto di tale numero e tutti gli interi più piccoli , per esempio , 5 ! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 ; nek devono essere entrambi interi non negativi . Coefficienti binomiali che sono uguali a 1

nC0 = 1 dove n è un numero intero positivo . Ciò significa che vi è un modo di scegliere oggetti da un insieme di oggetti di qualsiasi dimensione , ad esempio , 5C0 = 5 ! /5 ! ( 5-5 ) ! = 120/120 = 1 .

NCN = 1 . C'è un modo di scegliere tutti gli oggetti in un insieme di qualsiasi dimensione . Cioè , c'è solo un modo per scegliere tutti gli elementi , che è quello di scegliere tutti gli elementi .

Nessun altro coefficiente binomiale è uguale a 1 , per esempio , 4C4 = 4 ! /( 4-4 ) ! 0 ! = 24/24 = 1 .
È possibile sostituire ( nk ) per k

NCK = nC ( NK ​​) , per esempio , 5C3 = 5 ! /3 ! ( 5-3 ) ! = 120/6 * 2 = 10 . Qui n = 5 e k = 3 . Sostituendo nk k dà 5C2 , che è uguale a 5 ! /( 5-3 ) ! 2 ! = 120/2 * 6 = 10 . Questo ha senso . Supponiamo di avere 5 amici e si sceglie 3 di invitare a cena . Si potrebbe facilmente avere scelto il 2 di non aver invitato a cena .
Il binomio coefficienti sono nel Triangolo di Pascal

Un modo per formare triangolo di Pacal è quello di iniziare con un 1 nella riga superiore , due 1 nella riga successiva , e , per ogni riga successiva , aggiungendo il numero immediatamente superiore e il numero di cui sopra e verso sinistra per ottenere un nuovo numero . Le prime righe sono ( vedi risorse per una corretta formattazione del triangolo ) :

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

le righe del triangolo sono i coefficienti binomiali . Ad esempio , l' ultima riga sopra indicato dà 4C0 = 1 , 4C1 = 4 , 4C2 = 6 , 4C3 = 4 e 4C4 = 1 . Triangolo

di Pascal , che prende il nome Blaise Pascal , un matematico francese , ha molti interessanti proprietà . Uno è che , se si sommano i numeri in ogni riga , si ottiene la sequenza di Fibonacci .
Ottenere 2 ^ k Dai coefficienti binomiali

nC0 + nC1 + NC2 + .... NCN = 2 ^ n , per esempio , 4C0 + 4C1 + 4C2 + 4C3 + 4C4 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2 ^ 4 . Un modo di pensare di questo è immaginare che si sta " sceglie " un certo numero di teste da un certo numero di lanci di moneta , in modo che 4C0 significherebbe " senza testa in quattro lanci . " Ci sono due modi una moneta può cadere su ogni lancio , quindi ci sono 2 ^ n modi che una moneta può cadere su n lanci . Inoltre, è possibile ottenere qualsiasi numero di capi , dai senza testa a tutte le teste , in modo che la somma dei coefficienti binomiali è uguale a 2 ^ n .