Come risolvere equazioni differenziali simultanee

equazioni differenziali simultanee vengono risolti utilizzando una matrice di coefficienti per creare un problema agli autovalori . Una volta che gli autovalori vengono calcolati , vengono reintrodotti nelle equazioni per determinare la soluzione generale . Una solida conoscenza del calcolo integrale è necessaria perché si deve prima " indovinare" la forma della soluzione basata esclusivamente sulla costruzione delle equazioni del problema . Ad esempio , è necessario essere in grado di vedere l'equazione y ' ' + ay ' + by = 0 e sapere che la soluzione assume la forma di y = e ^ ( lambda * t ) .Things avrete bisogno
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Scrivere le equazioni in forma standard e creare la matrice dei coefficienti . L'immagine mostra la matrice dei coefficienti per il seguente esempio
y1 . ' = 2 * y1 - 4 * y2
y2 ' = 1 * y1 - 3 * y2
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Sottrai la lambda autovalore moltiplicato per la matrice identità dalla matrice dei coefficienti .
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Calcola l'equazione agli autovalori per il determinante della matrice di nuova formazione e impostarlo uguale a zero .
( 2 - lambda ) ( - 3 - lambda ) - ( -4 * 1)
-6 + lambda + lambda ^ 2 + 4
lambda ^ 2 + lambda - 2 = 0
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Risolvere l'equazione per determinare gli autovalori
lambda ^ 2 + lambda - 2 = 0
( lambda - 1) ( lambda + 2 ) = 0
lambda1 = 1 . ; lambda2 = -2
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Utilizzare gli autovalori e la matrice autovalore per determinare gli autovettori
. ( 2 - lamda ) * x1 - 4 * x2 = 0
x1 = 4x2 ; autovettore è [ 4 , 1 ] per lambda = 1
4x1 = 4x2 ; autovettore è [ 1 , 1 ] per lambda = -2
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Scrivi la soluzione generale utilizzando gli autovalori e autovettori . Per questo esempio , la soluzione è in forma di y = e ^ ( lambda * t ) e dato che questa è la soluzione generale , costanti arbitrarie che sono il risultato di integrazione vengono introdotte .
Y1 = 4 * c1 * e ^ t + c2 * e ^ ( - 2t )
y2 = c1 * e ^ t + c2 * e ^ ( - 2t )
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Utilizzare le condizioni iniziali e al contorno per ottenere valori per le costanti arbitrarie . Questo esempio è una condizione problema iniziale . Le condizioni iniziali sono y1 ( 0 ) = 3 e y2 ( 0 ) = 0
y1 = 4 * c1 * e ^ 0 + c2 * e ^ ( - 2 * 0 ) = 4 * c1 + c2 = 3
y2 = c1 * e ^ 0 + c2 * e ^ ( - 2 * 0 ) = c1 + c2 = 0
4 * c1 = 3 - c2
c1 = -c2
4 * ( - c2 ) = 3 - c2 ; c2 = -1
c1 = - ( - 1 ) ; c1 = 1
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Scrivi la soluzione particolare sostituendo i valori per le costanti di nuovo nella soluzione generale :
y1 = 4e ^ t - e ^ ( - 2t )
y2 = e ^ t - e ^ ( - 2t )