Il teorema fondamentale del calcolo integrale ha avuto i suoi albori nel terzo secolo aC quando Archimede ha sviluppato un modo per determinare aree . Ci sarebbero voluti altri 2000 anni prima di Newton e Leibniz pubblicato i primi sviluppi sistematici di calcolo . Questo grande lasso di tempo è dovuto in gran parte alla complessità di Archimede metodo originale . Progressi significativi è stato raggiunto solo quando un metodo molto più semplice di integrazione è venuto sulla scena . Essa è nata con lo sviluppo del derivato e la scoperta della relazione tra il derivato e l’integrale . Insegnante di Sir Isaac Newton , il matematico inglese Isaac Barrow , è stato il primo a riconoscere la relazione tra il derivato e l’ integrale . Il teorema fondamentale del calcolo integrale è il fondamento per il mondo dell’ingegneria . Ha fatto gran parte del progresso del mondo moderno possibile. Istruzioni

rivedere i fondamentali

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Studiare le definizioni delle sei Integrali trigonometrici comuni . Avere familiarità con questi farà risparmiare tempo quando integra funzioni trigonometriche . Se u è una funzione di x , allora :

L’integrale di (sin u · u ‘ dx ) = l’integrale di (sin u du ) = ‘ cos u + C

integrante (cos u · u ‘ dx ) = l’integrale di (cos u du ) = sin u + C

l’integrale di ( s ^ 2 u · u’ dx ) = l’integrale di ( sec ^ 2 u du ) = tan u + C

l’integrale di ( CSC ^ 2 u · u ‘ dx ) = l’integrale di ( CSC ^ 2 u du ) =’ culla u + C

l’integrale di (sec u abbronzatura u · u ‘ dx ) = l’integrale di ( s u abbronzatura u du ) = s u + C

l’integrale di ( CSC u culla u · u ‘ dx ) = l’integrale di ( CSC u culla u du ) = ‘ csc u + C

Dove : peccato = sine , cos = coseno , sec = secante , csc = cosecante , tan = tangente , culla = cotangent

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Scopri le proprietà della integrale indefinito . Conoscendo queste proprietà possono aiutare nella risoluzione di un integrazione di un integrale trigonometrica , una semplice sostituzione di una parte di un problema o l’intera soluzione può provocare . Se u ( x ) e v ( x ) sono integrabili , allora :

L’integrale di x ^ n dx = [ x ​​^ ( n +1) /( n + 1 ) ] + C ( n non è pari a -1 )

integrante del cv (x ) volte dx = c l’integrale di v ( x ) dx dove c è una costante

l’integrale della [u ( x ) + v ( x ) ] dx = l’integrale di u ( x ) dx + l’integrale di v ( x ) dx

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Studiare la trigonometriche di base identità per acquisire familiarità con queste definizioni . Riconoscendo loro è la chiave per risolvere integrali trigonometriche. Elencati qui sono i più comuni 12 . Un elenco completo può essere trovato in un libro di testo di calcolo . Vedere la sezione Risorse di questo articolo per un tale testo .

Tan x = sin x /cos x

lettino x = cos x /sin x

sec x = 1 /cos x

csc x = 1 /sin x

sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1

tan ^ 2 x + 1 = sec ^ 2 x

1 + lettino ^ 2x = csc ^ 2 x

sin ^ 2 x = 1/2 ( 1 – cos 2x )

sin 2x = 2 sin x cos x

cos ^ 2 x = ( cos 2x + 1 ) /2

tan = 2x ( 2 tan x /1 – tan ^ 2 x

cos ^ 2 x = 1/2 ( 1 + cos 2x )

Integrazione mediante l’uso di formule derivate

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Una consideri l’integrale da valutare . Questo è il primo passo nella valutazione o solving qualsiasi integrazione trigonometrica . Notare la forma e la funzione trigonometrica dell’integrale da valutare . Questa fase porterà alla approccio da utilizzare per la soluzione .

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Determinare se l’integrale da valutare è in la stessa forma come una delle forme derivate . a tale scopo , confrontare il dato integrale da risolvere alle forme derivate . Se è nella stessa forma qualsiasi integrali derivati ​​, è sufficiente sostituire . ad esempio, per calcolare l’integrale peccato x dx , guardare la lista o richiamare le definizioni , e chiedetevi se questo integrale è già stata derivata. Guardando l’elenco delle definizioni rivela che il peccato x dx è definito. Dalla definizione , scrivere ” l’integrale del peccato x dx = – cos x + C. ”

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manipolare l’ espressione data , se possibile, per ottenere una forma derivata , se non è dato direttamente . Ad esempio , per valutare l’integrale di x cos x ^ 2 dx , richiamo dall’elenco delle definizioni degli integrali trigonometriche che l’integrale di cos uu ‘ dx è uguale all’integrale di cos u DU , che equivale peccato u + C. Nell’esempio , u uguale x ^ 2 e u ‘ uguale a 2x . Ricordate che u ‘ è definita come la derivata di u . Per una spiegazione completa del Teorema fondamentale del calcolo e derivati ​​, vedi il testo calcolo osservato nella sezione Risorse di questo articolo . L’equazione deve essere manipolato per sbarazzarsi del 2 nella 2x perché non compare nella definizione data . A tale scopo , moltiplicare entrambi i lati della integrale di 1 /2. Facendo questo non cambia il valore dell’espressione , ma raggiunge la forma corretta .

Questa espressione diventa ” l’integrale di x cos x ^ 2 dx = 1/2 volte l’integrale di ( 1/2) 2x cos x ^ 2 dx “o” l’integrale di x cos x ^ 2 dx = 1/2 volte l’integrale di x cos x ^ 2 dx “.

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risolvere il conseguente integrale utilizzando il derivato forma . L’ esempio produce ” l’integrale di x cos x ^ 2 dx = 1/2 volte l’integrale di x cos x ^ 2 dx . ” Dall’elenco delle definizioni degli integrali trigonometriche , se u è una funzione di x , allora :

l’integrale di cos uu ‘ dx = l’ integrale di cos u du

l’integrale di cos u du = sin u + C.

Utilizzando la forma derivata risolvere l’equazione :

l’integrale di x cos x ^ 2 dx = 1/2 sin x ^ 2 + C.

Integrali del modulo : l’integrale di sin ^ mu cos ^ nuu ‘ dx

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valutare il peccato integrale ^ 2 x cos ^ 3 x dx . Si noti che è la forma sin ^ mu cos ^ nuu ‘ dx . Integrali di questo modulo sono definiti come ” l’integrale del peccato ^ mu cos ^ Nuu ‘ dx = l’integrale di sin ^ mu cos ^ nu du . ”

Una Definire la ” m ” e ” n” termini . In questo esempio , l’esponente nella posizione m è 2 e l’esponente nella posizione n è 3 .

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Determinare se n è un intero positivo dispari o se m è un numero intero positivo dispari o se m ed n sono entrambi numeri interi positivi anche . In questo esempio n = 3 e m = 2 . Quindi n è un intero positivo dispari . Se fossero m un numero intero positivo dispari così , l’espressione essere riscritto con ( m – 1 ) come esponente al posto di m . Ad esempio , se m erano poi 3 ( 3 – 1 ) o 2 sarebbe il nuovo esponente per il termine m e l’identità trigonometrica utilizzato sarebbe : sin ^ 2 u = 1 – cos ^ 2 u . Se m e n sono due numeri interi positivi anche utilizzare le identità “. Sin ^ 2 x = ( 1 – cos 2x ) /2 e cos ^ 2 x = ( 1 + cos 2x ) /2 ” per avere strani poteri del coseno

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Riscrivere l’espressione come “peccato ^ mu cos ^ nu = sin ^ mu cos ^ ( n -1 ) u cos u “. In particolare , scrivi

” sin ^ 2 x cos ^ ( 3-1 ) x = sin ^ 2 x cos ^ 2 x cos x dx “.

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Utilizzare i cos identità ^ 2 x = 1 – sin ^ 2 x per ottenere l’espressione nella forma corretta . Utilizzando l’ esempio :

l’integrale del peccato ^ 2 x cos ^ 3 x dx = l’ integrale di peccato ^ 2 x cos ^ 2 x cos x dx

l’ integrale del peccato ^ 2 x cos ^ 2 x cos x dx = l’integrale di peccato ^ 2 x ( 1 – sin ^ 2 x ) cos x dx

l’integrale di sin ^ 2 x ( 1 – sin ^ 2 x ) cos x dx = l’integrale di (sin ^ 2 x – sin ^ 4 x ) cos x dx

l’integrale di (sin ^ 2 x – sin ^ 4 x ) cos x dx = [ (sin ^ 3 x ) /3 ] – [ (sin ^ 5 x ) /5 ] + C.

trigonometriche Sostituzioni

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Ricordiamo le sostituzioni comuni:

Forma: (a ^ 2 – u ^ 2 ) ^ ( 1/2 ); Sostituzione : u = peccato x; Identità: cos ^ 2 x = 1 – sin ^ 2 x

Form : ( a ^ 2 + u ^ 2) ^ ( 1/2); Sostituzione : u = un tan x; Identità: sec ^ 2 x = 1 + tan ^ 2 x

Form : ( u ^ 2 – a ^ 2) ^ ( 1/2); Sostituzione : u = un secondo x; Identità: tan ^ 2 x = s ^ 2 x – 1

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Valutare l’espressione data . Ad esempio , calcolare l’integrale da 0 a 3 di ( 9 – x ^ 2 ) ^ ( 1/2 ) dx . Questa espressione è della forma ( a ^ 2 – u ^ 2 ) ^ 1/2 quindi la sostituzione sarà u = a sin x e l’identità utilizzata sarà cos ^ 2x = 1 – sin ^ 2 x . In questo caso , a = 3 perché 3 ^ 2 = 9 .

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Effettuare la sostituzione . Poiché l’intervallo va da zero a tre iniziare eseguendo la sostituzione x = 3 sin @ nell’equazione originale . Questo produce : dx = 3 cos @ d @ . Poiché l’integrale va 0-3 considerare quando x = 0 , sin @ = 0 e @ = 0 quando x = 3 , sin @ = 1 e @ = ( 3.14 ) /2 .

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risolvere il integrale . Ad esempio , l’integrale da 0 a 3 di ( 9 – x ^ 2 ) ^ ( 1/2 ) dx

= l’integrale tra 0 ( 3.14 ) /2 ( 9 – 9 sin ^ 2 @ ) ^ ( 1/2) 3 cos @ d @

= integrale da 0 a ( 3.14 /2) di 9 cos ^ 2 @ d @

= 9 /2 della Integral da 0 a ( 3.14 ) /2 ( 1 + cos 2 @ ) d @ .

= 9/2 ( @ + ( 1/2 ) sin 2 @ ) da 0 a ( 3.14 ) /2

= 9/2 [ ( 3.14 ) /2 + 1/2 sin @ ) – ( 0 + 1/2 sin 0 ) ]

= (9 ( 3.14 ) ) /4