Analisi numerica è una branca della matematica applicata che si occupano di trovare tecniche efficaci per approssimare soluzioni esatte per la matematica e problemi del computer . Considerando che la matematica pura è intesa ad accertare l’esistenza e l’ unicità di soluzioni ai problemi , l’analisi numerica è interessato a trovare approssimazioni ai valori esatti che sono abbastanza vicino per essere utilizzato in situazioni del mondo reale . La radice quadrata di 2, per esempio, è una soluzione dell’equazione x ^ 2 – . 2 = 0 In analisi numerica , tuttavia , si dovrebbe studiare tecniche per approssimare la radice quadrata di 2 Computer aritmetici

numeri reali può. solito essere approssimati solo in un computer , che è il principale strumento di analisi numerica . Così è di preoccupazione centrale come viene generato molta errore in queste approssimazioni .

Lo strumento principale di analisi numerica è un computer . Una questione centrale è come i numeri come pi o la radice quadrata di 3 , i cui valori esatti in genere richiedono quantità infinite di cifre , sono rappresentati nel computer. Non è possibile essere precisi dal momento che non c’è memoria sufficiente per rappresentare le cifre infinite . Pertanto , numeri sminuzzare dopo un certo numero di cifre o arrotondati . Studi di analisi numeriche come controllare gli errori che possono essere propagate e amplificate con entrambi i metodi .

Errori

Piccoli errori nei calcoli può portare a grandi errori nel risultato . In analisi numerica , le tecniche sono state sviluppate per controllare l’errore . Processi

Infinite devono essere approssimate nel mondo reale da quelli finiti . Pensate al problema di rappresentare la radice quadrata di 2 . Se la precisione non è un problema , uno potrebbe fare. Ma 1.4 sarà migliore . Meglio ancora è 1.41 e ancora più precisa è 1.414 . Potremmo continuare il processo all’infinito , ogni volta avvicinandosi al valore reale della radice quadrata di 2 . Ma non c’è abbastanza tempo , né la memoria in tutti i computer dell’universo per ottenere esattamente . Così ci fermiamo da qualche parte e decidiamo che una qualche rappresentazione , per esempio , 1,414213562373 è abbastanza vicino al valore reale di essere ciò che intendiamo per la radice quadrata di 2 . Naturalmente , questo significa che ci sarà qualche errore insito nei nostri calcoli . L’errore risultante da fermare un processo infinito ad un certo punto si chiama ” errore di troncamento ” e il controllo e la comprensione si tratta di una questione centrale in analisi numerica.

Roots polinomiali

i processi iterativi come quelli utilizzati per calcolare frattali sono importanti in analisi numerica.

Una delle principali applicazioni di analisi numerica è il ravvicinamento delle radici di polinomi quando le soluzioni esatte non possono essere trovati. Questo è solitamente fatto iterazione – cioè scegliendo una prima approssimazione (spesso un’ipotesi ) e applicando una formula . Il valore risultante è messo attraverso la stessa formula e il processo continua fino a quando il valore ottenuto dopo l’ultima iterazione è una tolleranza prestabilita del valore esatto . Un importante processo iterativo studiato in analisi numerica per esempio, è il metodo di Newton per approssimare le radici .

Numerica Quadrature

Uno degli argomenti di analisi numerica è approssimare l’area sotto le curve come parabole e catenarie . Questo è il Gateway Arch di St. Louis è un esempio di una catenaria appiattito .

Nel calcolo, si impara a calcolare l’area sotto le curve nel piano trovando una quantità importante chiamato “anti – derivato . ” I problemi nella rubrica sono scelti con cura in modo che l’ anti- derivato può essere trovato. Ma nel mondo reale , questo misterioso anti- derivato non sempre esiste o è impraticabile da trovare. In analisi numerica si impara ad approssimare l’area sotto le curve , anche quando l’anti- derivato non esiste. Questo si ottiene utilizzando trapezi o rettangoli o anche più generale forme di stimare parti dell’area e poi aggiungendoli up . Il processo di stima tali aree è un tema importante in analisi numerica e si chiama quadratura numerica .

Linear Algebra

analisi numerica , si studia il processo di risoluzione sistemi di equazioni lineari in grande dettaglio e prendere in considerazione diverse strategie per affrontare gli errori di arrotondamento che provocano questi problemi dal computer di aritmetica. Il numero di passaggi necessari per elementari tecniche di algebra lineare utilizzando matrici viene calcolato e confrontato con le alternative per determinare che sarebbe meglio usare . Un altro tema importante è trovare la linea migliore che si adatta una raccolta di dati , chiamato anche il problema dei minimi quadrati .

Differential Equations

In analisi numerica , si studia le tecniche per trovare soluzioni approssimate l’equazione che regola il moto di un pendolo .

Nel livello superiore o di un corso di laurea di matematica , gli studenti trascorrono molto tempo ravvicinamento soluzioni alle equazioni differenziali . Queste sono le equazioni che coinvolgono prima e più alti derivate di ordine e dei loro poteri . Un derivato è il tasso di variazione di una variabile rispetto ad un’altra . Un esempio di un derivato è la velocità di una macchina e la velocità di variazione della sua posizione rispetto al tempo . Equazioni differenziali possono essere estremamente difficili da risolvere e non si possono prestare a esigere soluzioni. Ma l’analisi numerica dà un mezzo di approssimare una soluzione a qualsiasi grado di precisione .