Come trovare il baricentro di una parabola

Trovare il centro di massa di una parabola è una breve modo di dire trovare il centro di massa di una sezione parabolica di un oggetto con densità uniforme . Per comodità , questa sezione parabolica è solitamente posto su un piano xy in modo che il suo asse di simmetria si trova sulla asse y ed il suo vertice si trova sulla origine . A causa della simmetria , si sa già che la coordinata x sarà 0 ; è necessario trovare la coordinata y . Trovare un centro di massa nella direzione y utilizzando YCM formula = ( 1 /M ) S y dm , dove YCM è la coordinata y del centro di massa , M è la massa totale dell'oggetto e S rappresenta il segno di integrale , e dm è la derivata rispetto a massa . Si deve sapere come integrare a fare questi problemi. Istruzioni
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Scrivi la funzione y = kx ^ 2 per descrivere la parabola . Trova k utilizzando le informazioni circa l'altezza e raggio della sezione parabolica . Riscrivere la funzione con il nuovo valore sostituito a k

Esempio : .

Trova il centro di massa di un taglio ciotola divisa in una sezione parabolica . L'altezza della ciotola è di 0,1 m e il suo raggio è di 0,1 m .

( 0.1 , 0.1 ) è un punto della ciotola . Plug in 0.1 per x e 0,1 per y per risolvere per k.

0.1 = k (0,1 ) ^ 2

0.1 = k * .01

k = 10

y = 10x ^ 2
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Cambia y ( x ) per x ( y) riorganizzando l'equazione fino a quando x è di per sé sul lato sinistro . Questo perché si sta integrando su y , in direzione verticale , quindi è necessario conoscere le dimensioni orizzontali di ogni fetta in termini di x . Questo è lo stesso dA , la derivata rispetto all'area

Esempio : .

Y = 10x ^ 2

0.1y = x ^ 2

x = + e - sqrt ( 0.1y )

poiché l'equazione si divide in due parti uguali , riscrivere come :

x = 2 * sqrt ( 0.1y )

dA = 2 * sqrt ( 0.1y ) dy
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Impostare l'integrale per la coordinata y . Perché hai preso le fette di zona con una densità uniforme , il dm può essere riscritta come D * dA , dove D è la densità , e dA = 2 * sqrt ( 0.1y ) dy

Esempio : .

YCM = ( 1 /M) S y dm

YCM = ( 1 /M) 2D * S y * sqrt ( 0.1y ) dy

I limiti di integrazione sono 0 e 0.1 (l'altezza della sezione) .
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Riscrivere M , la massa , come parte integrante , utilizzando le stesse informazioni per l'integrale precedente , ma lasciando fuori l'extra * y .

Esempio :

M = 2D * S sqrt ( 0.1y ) dy

I limiti di integrazione sono 0 e 0,1 (l'altezza della sezione)
. 5

Scrivere un rapporto tra i due integrali di prendere in considerazione la 1 /M. risolvere integrando

Esempio : .

YCM = 2D * S y * sqrt ( 0.1y ) dy /2D * S sqrt ( 0.1y ) dy

sqrt ( 0.1) è una costante e può essere portato fuori l'integrale , in modo che annulla , proprio come il 2 e il D.

y * sqrt (y ) = y ^ 1 * y ^ 0,5 = y ^ 1.5

YCM = S y ^ 1.5 dy /S y ^ 0.5 dy

YCM = 0.4y ^ 2.5 /( 2/3) y ^ 1,5 = 0.6y

Valutare 0-0,1 :

YCM = 0,06-0 = 0,06