Come modificare la variabile di integrazione

Integrazione per sostituzione è una tecnica per risolvere i problemi di calcolo integrale . Fondamentalmente, si tratta di cambiare la variabile di integrazione - di solito da x a u o v Mentre integrazione per sostituzione non è necessaria per i problemi più semplici come l'integrazione di x al quadrato , per esempio , è l'unico buon modo per risolvere i problemi più complessi . Ecco come funziona . Istruzioni
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Usate la regola della catena per i derivati ​​( la derivata di f ( g ( x ) ) = f ' ( g ( x)) * g ' ( x ) , o un derivato dei tempi di fuori derivata della interno) . Integrazione per sostituzione è un po 'come la regola della catena in senso inverso .
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Identificare f' ( g ( x)) e g ' ( x ) nella funzione che si devono integrare. In altre parole , guardare la funzione è necessario integrare un po 'diverso . Ad esempio, se la funzione è la seguente :

∫ ( 10 x ^ 4 ) /( 20 + 2 x ^ 5 ) dx

noti che 10 x ^ 4 è la derivata di 20 + 2x ^ 5 .

In questo tipo di rapporto , creare una nuova variabile chiamata u e impostarla uguale alla parte il cui derivato appare altrove nella funzione . In questo esempio , quindi , u = 20 + 2x ^ 5

Prendere la seguente funzione , ad esempio: .

∫ -2 E ^ - x dx

Dire che u = - x , dato che, sebbene -2 non è la derivata di - x , è vicino . Moltiplicare la derivata di - x per 2.
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Sostituire u e u ' , che è la derivata di u , nella vostra equazione al posto di x- funzioni. Nell'esempio di cui sopra , per esempio , vorremmo cambiare la nostra equazione per assomigliare a questo :

∫ u ' /u dx

Cosa succede se u ' è fuori da qualche valore intero ? In questo caso , abbiamo ancora sostituiamo in u e u ' , ma correggiamo l'equazione dividendo o moltiplicando per tale valore intero , se necessario . Guardiamo l'esempio precedente :

∫ -2 E ^ - x dx

Sappiamo che u = - x , quindi u ' = -1 . Ciò significa che -2 = u ' * 2 , così quando sostituiamo finiamo con un'equazione che assomiglia a questo :

∫ 2 u ' ( e ^ u) dx
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Nota che u ' e dx insieme fanno du e riscrivere l'equazione di conseguenza. Nei due esempi precedenti , per esempio , il risultato è simile al seguente :

∫ 2 e ^ u du

∫ 1 /u du
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Valutare l'integrale utilizzando le regole di base di integrazione . Se non vi ricordate tutti, guardate il link nella sezione Risorse di seguito ; esso contiene una tabella di integrali comuni . Nei problemi di esempio , si dovrebbe ottenere i seguenti risultati :

∫ 2 e ^ u du = 2 e ^ u

∫ 1 /u du = ln u
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Sostituire u del valore originario di nuovo nell'equazione al posto di u . Negli esempi , si finirebbe con il seguente :

2 e ^ u = 2 e ^ - x

ln u = ln ( 20 + 2x ^ 5 )

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doppio controllare la vostra risposta prendendo la derivata per assicurarsi che sembra proprio come l'equazione originale avevi quando hai iniziato il problema .