Come calcolare Combinazioni & Permutazioni

Supponiamo di avere n tipi di oggetti , e si desidera selezionare un insieme di r di loro . Potremmo desiderare questi elementi in un ordine particolare . Noi chiamiamo questi insiemi di oggetti permutazioni . Se l'ordine non importa, noi chiamiamo l'insieme delle collezioni combinazioni . Per entrambe le combinazioni e permutazioni , si può considerare il caso in cui si sceglie alcuni dei tipi di n più di una volta , che si chiama ' con la ripetizione ' , o il caso in cui si sceglie ogni tipo solo una volta , che si chiama ' nessuna ripetizione ' . L' obiettivo è quello di essere in grado di contare il numero di combinazioni o permutazioni possibili in un dato situation.Orderings e fattoriali

La funzione fattoriale è spesso usato per calcolare le combinazioni e permutazioni . N ! significa N × ( N - 1) × ... × 2 × 1 . Ad esempio , 5 ! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 . Il numero di modi per ordinare un insieme di elementi è un fattoriale . Prendete le tre lettere a, b e c . Hai avere tre scelte per la prima lettera , due per il secondo e unico per il terzo . In altre parole , un totale di 3 × 2 × 1 = 6 ordinamenti . In generale , vi sono n ! . modi per ordinare n elementi

permutazioni con ripetizione

Supponiamo di avere tre stanze che si sta per dipingere, e ognuno sarà dipinto uno dei cinque colori: rosso ( R ) , verde (G ) , blu ( b ) , giallo ( Y ) o arancione ( o) . Si può scegliere ogni colore tutte le volte che ti piace . Hai cinque colori tra cui scegliere per la prima stanza , cinque per il secondo e cinque per il terzo . Questo dà un totale di 5 × 5 × 5 = 125 possibilità. In generale , il numero di modi per scegliere un gruppo di elementi r in un ordine particolare dalle scelte n ripetibili è n ^ r .

Permutazioni senza ripetizioni

Ora supponiamo che ogni stanza sarà un colore diverso . È possibile scegliere tra cinque colori per la prima stanza , quattro per il secondo e solo tre per il terzo . Questo dà 5 × 4 × 3 = 60 , che sembra appena essere 5 ! /2 ! . In generale , il numero di modi indipendenti per selezionare le voci r in un ordine particolare dalle scelte non ripetibili n è n ! /( N - r) ! .

Combinazioni senza ripetizioni

Avanti , dimenticare che in camera è quale colore . Basta scegliere tre colori indipendenti per la combinazione di colori . L'ordine non ha importanza qui , così ( rosso, verde , blu) è lo stesso ( rosso , blu , verde) . Per ogni scelta di tre colori ci sono 3 ! modi è possibile ordinare . Così si riduce il numero di permutazioni da 3 ! di ottenere 5 ! /( 2 ! × 3 ! ) = 10 . In generale , si può scegliere un gruppo di elementi r in qualsiasi ordine da una selezione di n scelte non ripetibili in n ! /[ ( n - r) ! × r ! ] modi .

combinazioni con ripetizione

Infine , è necessario creare uno schema di colori in cui è possibile utilizzare qualsiasi colore tutte le volte che vuoi. Un codice di contabilità intelligente aiuta questo compito conteggio. Utilizzare tre Xs per rappresentare le stanze. La tua lista di colori è rappresentata da ' rgbyo ' . Mescolare il Xs nella vostra lista di colore , e associare ogni X con il primo colore a sinistra di esso . Ad esempio , rgXXbyXo significa che la prima stanza è verde , il secondo è verde e la terza è di colore giallo . Una X deve avere almeno un colore a fianco , quindi ci sono cinque slot disponibili per la prima X. Poiché l'elenco comprende ora una X , ci sono sei slot disponibili per il secondo X e sette slot disponibili per il terzo X. In tutto, ci sono 5 × 6 × 7 = 7 ! /4 ! modi per scrivere il codice . Tuttavia, l'ordine delle camere è arbitraria , quindi ci sono davvero solo 7 ! /( 4 ! × 3 !) Arrangiamenti unici. In generale, è possibile scegliere gli elementi r in qualsiasi ordine dalle scelte n ripetibili in ( n + r- 1 ) ! /[ ( N - 1 ) ! × r ! ] Modi .