Anche se il calcolo può sembrare esoterico e teorica , in realtà è uno dei campi più pratici della matematica . In particolare , il calcolo delle variazioni è utilizzato per calcolare le forze , minimizzare i costi , razzi progettazione e controllo di apparecchiature industriali . I metodi sono relativamente semplici — almeno per determinate classi di problemi — ma anche i metodi più complessi sono più potenti di quanto non appaiano . Il problema Primal

Il primo esempio spesso citato di un problema nel calcolo variazionale viene affermato nel problema della regina Didone . La regina mitica è stata data la possibilità di governare su tutto quello terreno che potrebbe coprire con la pelle di una mucca . Prese la pelle bovina e tagliarla a striscioline , legandoli insieme per fare un lungo ciclo. Il suo problema era quello di prendere quel loop e usarlo per delineare il più grande regno possibile. Questo è un problema nel calcolo delle variazioni .

Sviluppo di strumenti

Alla fine del 1700 , Isaac Newton impostare il problema di progettare un corpo che avrebbe resistenza minima quando volare attraverso l’aria . Questo è il marchio di problemi variazionali . C’è una quantità — resistenza dell’aria — che dipende da un altro insieme di parametri — la forma della superficie . L’ idea è di trovare l’ insieme di parametri che minimizza o massimizza la quantità. Il primo passo è di esprimere la quantità da minimizzare in funzione dei parametri del problema . Quel primo passo richiede di applicare la vostra conoscenza del problema; allora è possibile applicare le tecniche di calcolo variazionale .

Un semplice Variational problema

efficiente , che su un campo è un problema nel calcolo variazionale .

Un allevatore è portando in alcune pecore vuole mantenere separati dal resto dei suoi animali . Ha un canale di irrigazione dritto userà come un lato di un recinto , e ha uno chilometri di recinzione per il resto . Egli vuole recintare il più grande pascolo possibile. Come dovrebbe stendere la recinzione ?

Primo luogo, si applica la vostra conoscenza di base per esprimere la quantità da massimizzare . L’ area è uguale alla lunghezza moltiplicata per la larghezza della zona delimitata . Inoltre , la lunghezza + 2 moltiplicato per una larghezza pari a un chilometro. Che porta all’equazione :

Area = larghezza – 2 moltiplicata per la larghezza ^ 2

Ora l’espressione è pronto per applicare le tecniche di calcolo variazionali

semplice ottimizzazione

la forma più semplice di ottimizzazione è quello di questo problema . La quantità da massimizzare è espressione di una sola variabile , e tutto quello che dovete fare è trovare uno massimo . Il processo semplice è quello di prendere la derivata della quantità da massimizzare rispetto alla variabile . . . In questo caso , la derivata della superficie rispetto alla larghezza

d ( area) /d ( larghezza) = 1 – 4 moltiplicato per larghezza

che pari a zero; Ciò consentirà di individuare un punto di flesso — un luogo dove la funzione originaria cambia la sua direzione. Impostare la derivata di questo problema uguale a zero , si scopre che la larghezza pari a 1/4 di un chilometro .

Identificazione Massimi e minimi

Il processo delineato nella paragrafo precedente individua un punto di flesso della curva della quantità da massimizzare , ma non ha ancora distinto massimo da un minimo da un ” ginocchio ” nella curva . Un altro test è necessario . Prendere la derivata seconda della curva . Se è negativo nel punto in cui la derivata prima è zero , la curva è massima . Se la derivata seconda è positiva lì , allora la curva ha un minimo . Se la derivata seconda è zero , allora c’è né un massimo o minimo della curva originale in quel punto .

Per il problema esempio, la derivata seconda è -4 — minore di zero — che mezzi che l’area è massimizzata quando la larghezza è di 1/4 di un chilometro . Giusto per finire il problema , se la larghezza è di 1/4 km, la lunghezza è di 1/2 km, e la zona è di 1/8 km ^ 2 .

Brevissimo Introduzioni

Ci sono decine , se non centinaia , di libri di testo sul calcolo variazionale . L’esempio rappresenta il tipo più semplice di problema . Altri problemi che possono essere risolti con il calcolo variazionale includono cose come : trovare il pacchetto 1 gallone che utilizza la minor quantità di materiale; trovare la luce sentiero conduce attraverso una lente; determinare la giusta quantità di inventario per tenere a portata di mano per minimizzare i costi totali; progettazione forma di inserire davanti ad un motore a reazione per rendere la presa d’aria il più agevole possibile . Questi esempi , naturalmente , sono rappresentative di un campo molto più ampio dei problemi accessibili alle tecniche di calcolo delle variazioni .