equazioni differenziali simultanee vengono risolti utilizzando una matrice di coefficienti per creare un problema agli autovalori . Una volta che gli autovalori vengono calcolati , vengono reintrodotti nelle equazioni per determinare la soluzione generale . Una solida conoscenza del calcolo integrale è necessaria perché si deve prima ” indovinare” la forma della soluzione basata esclusivamente sulla costruzione delle equazioni del problema . Ad esempio , è necessario essere in grado di vedere l’equazione y ‘ ‘ + ay ‘ + by = 0 e sapere che la soluzione assume la forma di y = e ^ ( lambda * t ) .Things avrete bisogno

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Scrivere le equazioni in forma standard e creare la matrice dei coefficienti . L’immagine mostra la matrice dei coefficienti per il seguente esempio

y1 . ‘ = 2 * y1 – 4 * y2

y2 ‘ = 1 * y1 – 3 * y2

2

Sottrai la lambda autovalore moltiplicato per la matrice identità dalla matrice dei coefficienti .

3

Calcola l’equazione agli autovalori per il determinante della matrice di nuova formazione e impostarlo uguale a zero .

( 2 – lambda ) ( – 3 – lambda ) – ( -4 * 1)

-6 + lambda + lambda ^ 2 + 4

lambda ^ 2 + lambda – 2 = 0

4

Risolvere l’equazione per determinare gli autovalori

lambda ^ 2 + lambda – 2 = 0

( lambda – 1) ( lambda + 2 ) = 0

lambda1 = 1 .; lambda2 = -2

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Utilizzare gli autovalori e la matrice autovalore per determinare gli autovettori

. ( 2 – lamda ) * x1 – 4 * x2 = 0

x1 = 4×2; autovettore è [ 4 , 1 ] per lambda = 1

4×1 = 4×2; autovettore è [ 1 , 1 ] per lambda = -2

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Scrivi la soluzione generale utilizzando gli autovalori e autovettori . Per questo esempio , la soluzione è in forma di y = e ^ ( lambda * t ) e dato che questa è la soluzione generale , costanti arbitrarie che sono il risultato di integrazione vengono introdotte .

Y1 = 4 * c1 * e ^ t + c2 * e ^ ( – 2t )

y2 = c1 * e ^ t + c2 * e ^ ( – 2t )

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Utilizzare le condizioni iniziali e al contorno per ottenere valori per le costanti arbitrarie . Questo esempio è una condizione problema iniziale . Le condizioni iniziali sono y1 ( 0 ) = 3 e y2 ( 0 ) = 0

y1 = 4 * c1 * e ^ 0 + c2 * e ^ ( – 2 * 0 ) = 4 * c1 + c2 = 3

y2 = c1 * e ^ 0 + c2 * e ^ ( – 2 * 0 ) = c1 + c2 = 0

4 * c1 = 3 – c2

c1 = -c2

4 * ( – c2 ) = 3 – c2; c2 = -1

c1 = – ( – 1 ); c1 = 1

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Scrivi la soluzione particolare sostituendo i valori per le costanti di nuovo nella soluzione generale :

y1 = 4e ^ t – e ^ ( – 2t )

y2 = e ^ t – e ^ ( – 2t )