Come utilizzare il metodo di Fermat per trovare l' area sotto una curva

Calculus ci permette di risolvere facilmente alcuni problemi che sono tutt'altro che facile utilizzando solo geometria e algebra . Gli esempi includono trovando minimi e massimi di una funzione, trovando la tangente di una curva in un punto e trovare l'area sotto la curva . Prima di calcolo , alcuni dei migliori matematici del mondo , tra cui Fermat , Wallis e Cartesio , le tecniche per risolvere questi problemi sviluppato . Tecnica di Fermat per trovare l' area sotto la curva è un esempio di come risolvere questi problemi ha portato allo sviluppo di calcolo . Istruzioni
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disegnare una serie di rettangoli sotto la curva , che copre l'area che si desidera trovare . I rettangoli impostati sull'asse X e l'altezza di ogni rettangolo è determinato dalla curva che si sta utilizzando . Ad un punto Xp sull'asse X , l'altezza del rettangolo è il valore che si ottiene se si collega Xp nella funzione e risolvere . Ad esempio , se si sta calcolando l'area sotto la curva Y = X ^ 2 + 1 tra X = 1 e X = 10 , l' altezza del rettangolo nel punto X = 5 è Y = 5 ^ 2 + 1 = 26 .
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Aggiungere le aree di tutti i rettangoli per approssimare l'area sotto la curva . Il più sottile i rettangoli , più precisa la vostra stima sarà , perché le cime dei rettangoli non corrispondono esattamente la curva . Ad esempio , se la curva è in costante diminuzione sull'intervallo di destinazione , e la curva interseca il rettangolo nell'angolo a destra , il rettangolo è completamente sotto la curva e l'approssimazione della zona sarà basso . Al contrario , le approssimazioni sono a volte alta .
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Guardate cosa succede quando la larghezza dei rettangoli va a zero . Fermat sviluppato un'espressione algebrica per la somma delle aree dei rettangoli . Se la larghezza dei rettangoli effettivamente fosse zero l'area sotto la curva era sotto la somma di un numero infinito di zeri - un concetto confusa al massimo . Se guardiamo al limite di questo processo , tuttavia , siamo in grado di trovare una risposta realistica . Ad esempio , guardare a ciò che accade a Y = ( X ^ 2 - 1 ) /( X - 1) quando X si avvicina sempre più al 1. Al punto in cui X = 1 , Y è indefinito , ma si può vedere , controllando alcuni valori prossimi a X , che come si avvicina X 1 , Y 2 si avvicina