Come sapere se due punti sono sullo stesso lato di un aereo

Euclide e la sua grande opera , " Elementi" viene in mente quando si considera la geometria . E ' la prima discussione sistematica della geometria . A causa di questo , Euclide è considerato il padre della geometria . La geometria euclidea è lo studio delle figure piane e solide sulla base di assiomi e teoremi derivati ​​e usati da Euclide . Era unico in quanto ha mostrato come questi teoremi e assiomi potrebbero inserirsi in una logica di sistema che era sia completa e deduttivo . La sua grande opera inizia con geometria piana e comprende algebra così come il numero theory.Things che ti serviranno
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Ricordiamo che un aereo è definito da tre punti non collineari e la forma generale di un aereo è , Ax + by + Cz + D = 0 dove { a, B , C } è un insieme di numeri direzione di una linea normale o perpendicolare al piano .

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Determinare la serie di numeri di direzione per la linea normale al piano . Scrivere una equazione in A , B , C e D per ciascuno dei tre punti dati . Ad esempio, se dato punti P1 ( 1,0,1 ) , P2 ( -1 , -2 , 1) e P3 ( 2 , -2,2 ) scrivere tre equazioni :

P1 ( 1,0 , 1 ) produce A + C + D = 0

P2 ( -1 , -2,1 ) rese -A - 2B + C + D = 0

P3 ( 2 , -2 , 2) produce 2A - 2B + 2C + D = 0
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Risolvere per A , B , C , e D utilizzando l'algebra lineare . . Lasciate P1P2 e P1P3 rappresentano vettori u e v rispettivamente così :

u = ( -1-1 ) i + ( -2-0 ) j + ( 1-1 ) k = - 2i - 2j

v = ( 2-1) i + ( -2-0 ) j + ( 2-1) k = i- 2j + k

Da u e v giacciono sul piano loro prodotto croce è perpendicolare al piano . Risolvere i rendimenti uxv , zona

uxv = [ - 2i - 2J ] x [i- 2j + k] = - 2i + 0j +4 k - 0i 2 j + 2k = - 2i + 2j 6 k

l'insieme dei numeri direzione perpendicolare al piano è quindi { -2 , 2 , 6 } .
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Scrivere l'equazione del piano utilizzando i numeri di direzione e uno dei tre punti dati . Per esempio con i numeri di direzione { -2 , 2 , 6 } e il punto ( -1 , -2,1 ) scrivere , -2 ( x + 1) +2 ( +2 y ) + 6 ( z - 1) = 0 .

-2 ( x + 1) +2 ( +2 y ) + 6 ( z - 1 ) = 0

- 2x - 2 +2 y + 4 + 6z - 6 = 0

-2x +2 y + 6z - 4 = 0

- x + y + 3z - 2 = 0

- x + y + 3z = 2

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Collegate i valori del punto in questione nella equazione derivata per determinare se è sul piano . Se collegando il punto produce un'affermazione vera , il punto è sullo stesso piano . . Nell'esempio l'equazione per l'aereo - x + y +3 z = 2 Considerando un punto con le coordinate , ( 1 , 0 , 1 ) , per determinare se è sulla stessa spina aereo nell'equazione derivata :

-1 + 0 + 3 ( 1 ) = 2

-1 + 0 + 3 = 2

2 = 2

Questa è una vera dichiarazione di conseguenza questo punto è sullo stesso piano .