. Molti studenti hanno difficoltà a trovare la distanza tra due punti su una linea retta , è più difficile per loro quando devono trovare la distanza tra due punti lungo una curva

Questo articolo , a proposito di un problema di esempio mostra come trovare questa distance.Things che vi serve

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Per calcolare la distanza tra due punti a ( x1 , y1 ) e B ( x2 , y2) su una retta sul piano xy , usiamo la formula della distanza , che è …

d ( AB ) = √ [ ( x1 – y1 ) ^ 2 + ( x2 – y2) ^ 2 ] . Noi ora dimostrare come questa formula funziona un problema di esempio . Si prega di cliccare sull’immagine per vedere come è fatto.

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Ora troveremo la distanza tra due punti A e B su una curva definita da una funzione f ( x ) su un intervallo chiuso [ ,”a, b ] . Per trovare questa distanza dovremmo usare la formula s = ( ^ 2 1 + [ f ​​’ ( x ) ] ) solidale , tra il limite inferiore , una , e il limite superiore , b , dell’integrando √ in relazione alla variabile di integrazione , dx . Si prega di cliccare sull’immagine per una visione migliore .

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La funzione che useremo come un problema , ad esempio, sopra la chiusa intervallo , [ 1,3 ] , è …

f ( x ) = ( 1/2 ) [ ( x +4 ) √ [ ( x +4) ^ 2-1 ] – ln [ ( x +4 ) + √ [ ( x +4 ) ^ 2 -1 ] ] ] . la derivata di questa funzione , è …

f ‘ ( x ) = √ [ ( x +4 ) ^ 2-1 ] , ci sarà ora quadrare entrambi i lati della funzione del derivato . Questo è [ f ‘ ( x ) ] ^ 2 = [ √ [ ( x +4) ^ 2-1 ] ] ^ 2 , che ci dà

[ f’ ( x ) ] ^ 2 = ( x + 4 ) ^ 2 – . 1 ora sostituiamo questa espressione nella lunghezza formula dell’arco /integrale , s . . . poi Integrare

clicca sull’immagine per una migliore comprensione

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Poi per sostituzione , abbiamo la seguente :

S = L’integrale , tra il più basso limite , 1 , e il limite superiore , 3 , del √ integranda ( 1 + [f ‘ ( x ) ] ^ 2) = l’integrando √ ( 1 + ( x + 4) ^ 2 – 1 ) .

che è uguale a √ ( ( x + 4) ^ 2 ) . Eseguendo la primitiva su questo Integrand , e per il teorema fondamentale del calcolo , otteniamo …

{ [ ( x ^ 2 ) /2 ] + 4x } in cui abbiamo prima sostituiamo il limite superiore , 3 , e da questo risultato , si sottrae il risultato della sostituzione del limite inferiore , 1 Cioè { [ ( 3 ^ 2 ) /2 ] + 4 ( 3 ) } – . { [ ( 1 ^ 2 ) /2 ] + 4 ( 1 ) } che è uguale a { [ ( 9/2 ) + 12 ] } – { [ ( 1/2 ) + 4 ] } = { ( 33/2 ) – ( 9/2 ) } che è uguale a ( 24 /2 ) = 12 . Così il Arclength /distanza della funzione /curva sull’intervallo [ 1,3 ] , è di 12 unità .